¿Cómo puedo asociar un link a una push notification?

Son dos preguntas diferentes. La segunda (¿Es posible añadir información a la push notification sin que sea mostrada en la alerta, en el badge, etc?) es fácil de responder: sí. Sólo hay que agregar nuevos parámetros al diccionario JSON:

{
"aps": 
  {
  "badge": 1,
  "alert": "Mensaje Alerta", 
  "param1": "value1",
  "paramURL": "http://www.icloud.com"
  }
}

La primera pregunta (¿Cómo puedo asociar un link a una push notification?) es un poco más complicada de responder: si bien se pueden asociar parámetros arbitrarios al diccionario JSON de una Push Notification, las notificaciones tienen un límite de tamaño para TODO el payload de 256 bytes. Por lo tanto el ejemplo anterior no sirve para todos los casos (solo para URLs lo suficientemente cortas).

Para usar URL arbitrariamente largas podrías usar un shortener (ej. bitly) o asociar como parametro de la notificación un código. Tu app al recibir la notificación debería conectarse con un servicio que entregando ese código le devuelva la URL que tiene que abrir.